图形计算器在对勾函数单调性教学中的应用

2019-01-04 03:17:00     来源: 桂林市教育科学研究所     作者: 马恩荣 蒋培杰

摘要经历数学的发现过程,在数学活动中逐渐发展直观想象和逻辑推理素养是现代课程理念的重要要求.文章借助图形计算器技术,以对勾函数单调性的发现教学为例,指出图形计算器技术在学生数学操作、观察、归纳、发现和证明中的重要作用,并进一步提出一般数学教育技术对数学认知活动的三大功能:提供验证、启示发现和促进理解.

关键词图形计算器对勾函数教学归纳发现

中图分类号G 420    文献标志码:A

引言

现代信息技术已经对全世界政治、经济和文化产生了重大而深远的影响.号称“移动数学实验室”的图形计算器作为一种现代数学教育技术势必对数学教育产生积极的影响.图形计算器是一种具有函数(解析式、参数)作图、动态图形、方程求解、数据处理、简单编程和CAS功能的计算器.它不仅能够进行数值运算和简单的符号运算,还可以直观地绘制各种方程曲线、函数图像,可以进行轨迹跟踪、动态演示,具有一定的交互性,是一种现代手持技术.[1]本文选取对勾函数单调性的发现和证明的教学过程为例,阐述图形计算器在学生数学操作、观察、归纳、发现和证明中的作用.

1 对勾函数简介

1.1 对勾函数的概念

函数的图像是对称的“双勾”,因此一般形如的函数称为对勾函数.对勾函数作为一种特殊的函数模式有许多优美的性质,学习对勾函数可以帮助学生理解函数图像与性质之间的关系,感悟利用函数图像研究函数性质的思想方法.此外,对勾函数的诸多性质有着广泛的应用,在各类测试和高考试题中都有考查.[2]上述函数中,由于当时函数的单调性容易确定,[3]因此对勾函数单调性的学习的难点在于当时函数的单调性情况.

1.2 本文中探究的对勾函数及其教学目标

函数可变形为,其单调性本质上就是函数的单调性的问题.因此本文探究函数的单调性的教学.

研究对勾函数最有效的工具是微积分,但学生最早接触这类函数是在高中一年级第一个学期函数单调性的学习部分,尚不会使用导数来研究对勾函数的性质.课程标准要求学会运用函数的图像理解和研究函数的性质[4],因此基于函数单调性的定义,从对勾函数图像的角度观察、归纳和发现对勾函数单调性的特点并予以证明从而达到理解的程度就显得十分有意义.

2 教学流程 

2.1 对特例的初步操作、观察和归纳

教师:我们来研究形如的函数(以下简称对勾函数)的单调性.时,我们用图形计算器画出函数的图像,仔细观察图像,并借助图形计算器的分析功能做分析.如图:

 

 1  a=1时“双勾”函数图像

学生:图像是两个“勾”,从图像看函数有4个单调性区间,分别是增区间、减区间、减区间和增区间.

教师:很好,那你能写出具体的单调区间吗?分析命令中的极值点功能可以帮助你找到单调区间的端点.

学生:(用图形计算器分析功能标出极值点得到图组2),函数在递增,在递减,在递减,在递增.

 

 2 a=1时双勾函数的单调性与极值

教师:这个函数有最值吗?如果没有,函数在其定义域子区间上有最值吗

学生:函数整体没有最值.但是,在内,当时函数有最大值-2;内,当时函数有最小值2.

2.2 对特例的进一步操作、观察和归纳

教师:你们说得很对.接下来请画出函数的图像,观察图像特点,思考它与函数图像的异同.

学生:(作图如图组3)函数递增,在递减,在递减,在递增.内,当时函数有最大值-4;内,当时函数有最小值4.

  

 3 a=4时双勾函数的单调性与极值

教师:好,你们的操作非常正确,结果也很有道理.注意函数的异同点,再画函数的图像看看,是否有类似的结论?

2.3 对特例的操作、观察、归纳和发现

学生:(作图如图组4)结论相似!函数递增,在递减,在递减,在递增.内,当时函数有最大值-6;内,当时有最小值6.

 

4  a=9时双勾函数的单调性与极值

教师:你们的想法很好,方向很正确.我们考查了的情况,对于一般的呢?遵循从特殊到一般的思想,对于一般的,也有这样的性质?

学生:应该也有.函数递增,在递减,在递减,在递增.内,当时函数有最大值内,当时函数有最小值.

教师:很好,要注意.我们得到了一个很好的猜想,现在,你能证明它吗?

2.4 在发现中构造证明

教师:我们是怎么证明函数的单调性的?怎么证明函数的单调性?

学生:根据函数单调性的定义,先选定一个单调区间,在定区间上任取两个数,比较这两个数的函数值,进而可以证明函数在该区间上的单调性.函数4个单调区间.

教师:很好,请大家认真做一下.我们请做得好的同学上黑板展示.

学生(上讲台板书):

证明:任取两个均不为的数,且.

     

                  

在区间内,,故.

故函数递增.

同理可得,函数递减,在递减,在递增.

教师:这位同学的证明很精彩,也很简洁.在这个证明下,内,函数有最大值内,函数有最小值”就是一个可以直接得到的结论了.请大家回顾一下本节课的探究过程,自己总结一下.

3 结语

    以上教学流程中,图形计算器的应用使得学生可以经历数学操作(图形计算器作图)、观察(观察“对勾”函数的图像特点)、归纳(归纳特例的图像特点)、发现(由归纳得到一般的结论)和证明(在已有发现的基础是进行演绎)的一系列过程,让学生能够真正自己动手做数学。对上述教学中图形计算器的作用可以进行总结和推广:图形计算器及类似技术有提供验证、启示发现和促进理解三大功能.提供验证指的是利用技术对某结论的若干特例进行检验;启示发现指技术支持下的操作、观察、归纳和发现;促进理解则是技术使得数学关系变得形象直观,有助于学生捕捉到关系的本质,有助于学生进行结论的证明和应用。

参考文献:

[1] 蒋培杰曹轩. 高中数学实验室的发展[J]. 中国教育技术装备, 2016(3):152-153.

[2]刘瑞美. 也谈对勾函数的性质及应用[J]. 中学数学研究:华南师范大学版, 2014(13).

[3]刘林. 对勾函数教学及对勾型函数应用[A]. 《教育科学》编委会.2016年9月全国教育科学学术交流论文汇编[C].《教育科学》编委会,2016:2.

[4] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验)[M]北京: 人民教育出版社, 2011.

 



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